各位考官大家好，我是高中数学组的 X 号考生，我试讲的题目是《直线与圆的位置关系》，下面开始我的试讲。
师：同学们，现在我们开始上课。首先我们来看这样一个问题，轮船在航行的时候，容易受到台风的影响，气象台发布台风预报，轮船正西方向 70km 有一台风，台风的影响范围是半径为 30km 的圆形区域，港口位于台风中心正北 40km 处，请问轮船不改变航行方向，是否会受到台风的影响。
师：这个问题我们怎样判断是否受影响呢？
生：可以看航线与圆形区域是否相交。
师：那同学们回忆下初中学习过的直线与圆的位置关系有哪些？
生：直线与圆有 2 个公共点，相交；直线与圆有 1 个公共点，相切；直线与圆没有公共点，相离。
师：那么同学们想一下，能不能用坐标系来判断直线与圆的位置关系呢？现在同学们前后 4 人为一小组进行讨论，等下请大家分享讨论结果，现在开始讨论。
师：时间差不多了，哪位同学来说一下？好的请这位同学来说一下。
师：嗯。非常好，你提出了两种方法。
师：这两种方法就是我们所要用的两种方法，第一种代数法、联立方程，判断解的个数；第二种几何法，通过比较圆心到直线的距离与半径，得到交点的个数进行判断。
师：那么，若已知直线与圆的方程，如何能够判断直线与圆的位置关系呢？请大家看一下例题：已知直线
和圆心为
的圆
，判断直线
与圆
的位置关系；如果相交，求直线
被圆
所截得的弦长。然后进行讨论，一会我找同学来说一下。
师：好的，时间到。我看大家讨论得非常激烈，那么哪位同学能给老师说一下？靠窗的那位同学你来说一下。
师：说得非常好。这位同学说利用两方程联立的方法得到一元二次方程，从而利用
大于 0、小于 0、等于 0 的方式判断直线与圆的交点个数，进而判断直线与圆的位置关系为相交、相离、相切。
师：非常正确。这种方法也叫做代数法。
师：那我们还有没有第二种解决办法呢？这位同学你来说一下。
师：非常好！请坐。
师：那也就是说，我们还可以利用直线与圆心的距离大于、小于、等于圆的半径来判断直线与圆的位置关系。这种方法也叫做几何法。
师：我们一起来解一下这道题。解法 1：联立直线
与圆
的方程，得
消去
，得
，解得
，
。所以，直线
与圆
相交，有两个公共点。把
，
分别代入方程
，得
，
。
师：直线
与圆
的两个交点是
，
，则
。我们来看圆
的方程
化为
，圆心
，则圆心
到直线
的距离
，所以直线
与圆
相交，有两个公共点。由垂径定理，得
。
师：通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线
与圆
的位置关系，可以联立它们的方程式，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系。
师：我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径
，从而求得圆心到直线的距离
，通过比较
与
的大小判断直线与圆的位置关系。若相交，则可利用勾股定理求得弦长。
师：请大家再次体会并自行总结出代数法与几何法的优势及其应用条件，体会在计算中适当引入图形的几何性质的优势。
师：接下来我们来通过一道题来巩固下我们的知识，通过解决导入中情境问题来进一步加深学生对直线与圆的位置关系及其判断的认识，并建立起数学与实际生活之间的联系。
师：我们现在来复习下这节课学习的内容，好靠窗第 2 排的男生来回答下。
生：我们学习了代数法联立直线与圆的方程，代入消元得到一元二次方程，判断解的个数，两个实数解，相交，一个实数解，相切，没有实数解，相离。
师：哪位同学来说下我们的几何法。
生：计算圆心到直线的距离，与半径比较，
，相交，
，相切，
，相离。
师：同学们，那我们这节新课就到这里，接下来大家回去做下我们课后练习题，下节课来给大家分享一下自己的做题方法。
师：好的这节课就上到这，下课。
我的试讲到此结束，感谢各位评委老师。
