师：上课，同学们好，请坐。
师：在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望星空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远？如何用数学的方法测量呢？
师：老师再提出一个问题，设
，
两点在河的两岸，只提供米尺和量角设备，不过河你可以测出它们之间的距离吗？
师：要解决上面的问题，需要更深入地学习三角形的边角关系。学习今天的新课之后，相信同学们会有答案。
师：同学们，在初中我们学习锐角三角函数时，是不是先从直角三角形进行探究的呢？
师：对，在
中，如果已知
所对的边
长为
，
所对的边
长为
，
所对的边
长为
，那么
，
，
，
，
，
之间有怎样的数量关系？
师：我们先从特殊的直角三角形人手。同学们请看黑板上老师画的这个直角三角形，你们先自主根据正弦函数的定义，写出这个直角三角形边角之间的关系。
师：老师看同学们停下了手中的笔，看来大家已经写完了，那好，有请中间这位同学，你来说一下吧。
师：他说由
，
，反解比
可得
，说得很对。
师：那老师来问你，
应该等于多少呢？对，等于
，那它的对边和斜边又是谁呢？
师：都是
。非常好。同学们，通过这位同学根据正弦函数定义所写的这几个式子，你们来观察这三个式子，发现有哪些特点呢？
师：好，最前排这位同学，老师看你已经跃跃欲试啦，你来回答。
师：你总结得非常完善，好请坐。
师：同学们，老师让大家再来思考一个问题：对于一般的三角形，以上的关系式是否能成立呢？
师：好，现在我们一起合作探究，看看锐角三角形是否具有的关系。
师：这里老师给大家一个提示：在直角三角形中我们找的中间变量是直角三角形的斜边，那么，此时我们应该找一个什么样的中间变量呢？什么量可以将三角形的边与正弦值联系起来呢？
师：老师听到大家讨论声渐渐停止了，在刚才的巡场过程中，老师也发现各个小组都有自己的观点和看法。
师：那老师有请第二小组为代表来回答一下。
师：过三角形顶点
作底边
的高
，则
，变形可得
，同理可得
，所以
仍然成立。他的思路清晰，证明过程规范整洁。同学们，你们是这么证明的吗？
师：第五小组你们有不同的想法。那你们来说一下吧。
师：同学们听到了吗？第五小组说。他们画的是钝角三角形，证明过程和第二小组一样，先构建了直角三角形，从而也得出了这个等式。
师：经过大家共同的证明。我们得出了这个等式适用于任意三角形。这也就是我们今天要学习的正弦定理。在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。用式子表示为
师：正弦定理证明过程中所蕴含的思想有分类讨论的数学思想和转化的数学思想以及等高的数学方法。
师：正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边和角的一种数量关系。
师：一般地，把三角形的三个角
，
，
和它们的对边
，
，
叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
师：同学们觉得利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？
生：①已知两角及一边，可以求出其他元素；②已知两边及一边所对的角，可以求出其他元素。
师：非常好。
