师：上课，同学们好，请坐。
师：想必你们肯定纳闷，屏幕上这个写着 “高” 的小朋友是谁。
师：他其实就是大数学家高斯小时候的样子。今天我们要讲一个 “小小高斯一炮而红记” 的故事。
师：因为我们今天要学习等差数列的前
项和的问题，就和高斯有关。他小时候就完美解决了这个问题。
师：虽然咱们同学们都听过这个故事，不过今天咱们重新温习一下，看看这个故事能带给我们什么启发。请看大屏幕。
师：视频看完了，同学们，高斯为什么算得又快又准呢？高斯方法的特点是什么？其计算的本质是什么？
师：老师听到有的同学已经说出来了，原来他通过细心观察发现
，
恰好可以分成这样的
对数。每对数的和都等于
，于是高斯就将这道题巧算为
。
师：你的观察很敏锐。
师：那我们是不是可以这样理解，高斯算法的任意的第
项与倒数第
项的和等于首项与末项的和。偶数个相加时，首尾相对，将不同数的加法运算转化成相同数的乘法运算，简化了计算过程。
师：现在我们学了等差数列，知道
其实就是一个首项为
，公差为
的等差数列，这个问题其实是求前
项和的问题。他巧妙了利用了配对的思想，简化了计算。
师：不过同学们，这种配对的思想解决偶数项数列的时候没问题，如果是奇数项呢？
师：对，就正好把中间那项剩下，这也是配对方法的要害之处。
师：那有没有什么方法，既能体现配对的思想，简化计算，又能巧妙解决中间这项的问题吗？
师：答案当然是有的，就是倒序相加法。
师：顾名思义，就是将数列正着写一遍，再倒着写一遍，然后将上下两行相加。那么你能看出接下来应该如何配对了吗？
师：嗯，我看同学都点点头，相信你们知道了其中的妙处所在。
师：那么对于任意一个等差数列，设
是等差数列
的前
项和，那么你能求出
吗？
师：请同学们前后四人为一小组，给大家一点时间，请同学们先独立思考，然后交流分享。
师：大家都有思路了吧？哪个小组愿意来分享一下你们的结果呢？
师：就请你们
组吧、你们
组代表已经跃跃欲试了。
师：你们想先写出等差数列的前
项和，然后再把项的次序反过来，把两式等号两边分别相加，然后化简，就能得到结果了。
师：说得有理有据，条理清晰，请坐。那么这种能推广到一般的等差数列吗？
师：利用倒序相加的方法，并通过化简，就得到了等差数列的前
项和。
师：同学们，你们都听明白了吗？
师：原来你们也是这种思路，那么请同学们结合着这一思路，独立在导学案上写下你们的推导过程，并最终给出结果吧。
师：好了，老师看大家都停笔了，在同学们书写的过程中啊，老师找了一位同学把他的推导过程板书在了黑板上，我们一起来看一下。
由① + ②，得
师：你不仅书写工整，而且条理清晰，请回。
师：如果将等差数列的通项公式
代入，你发现了什么？
师：
组得出：
于是
也可以由首项
和公差
表示。
师：现在大家比较这两个公式，说说它们分别从哪些角度反映了等差数列的性质，先自主观察，并尝试分析。
师：时间差不多了。
师：
组说前者反映了等差数列的任意的第
项与倒数第
项的和等于首项与末项的和的内在本质。后者反映了等差数列的前
项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于
的二次函数。两者从不同角度反映了等差数列的性质。
师：公式我们得到了，那利用这些公式可以解决哪些问题呢？
师：请看大屏幕上的这道题，有
根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料呢？
师：细心的同学已经发现了，根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，所以就构成了等差数列。
师：你能将实际问题抽象成数学问题，真的很不错。师看到同学们自信满满的样子，相信你们都有了正确的结果。
师：看来大家已经能够灵活运用本节课的知识解决实际问题了呢。
师：知识要用来分享和交流，请同学们互相说一说，这节课你都有哪些收获呢？
师：你说你对等差数列有了更加深刻的认识了，而且知道等差数列前
项和的计算公式。
师：你掌握了一种倒序相加的思想方法。师看来大家这节课都乐在其中并且收获满满。
